都立高校入試(数学)の傾向と対策[受験のプロが解説]

都立受験対策について

こんにちは!

東京都品川区の戸越・戸越銀座の学習塾、太陽学院の亀井です。

季節の変わり目ですがいかがお過ごしでしょうか?

この時期は体調を崩しやすい時期です。

受験勉強はできていても体調管理が思うようにできていなくて本番に

万全の調子で挑めないというのはよく聞きます。

体調管理も受験において、最も重要と言っても過言ではありません。

今の時期から「朝に◯◯をすれば体調が良い」などのルーティーンを見つけて、

本番に向けて備えていきましょう。

本日は「都立高校入試(数学)の傾向と対策[受験のプロが解説]」というタイトルです。

「今年受験するけど、どんな勉強をすればいいのかわからない。」

「都立高校入試に出てくる問題はどんな感じなんだろう」

「早めから受験勉強始めたいけど何から手をつけたら良いか・・・」

などといった不安をかかえているかもしれません。

そこでこの記事では、そういった方に向けて都立高校入試の数学についての傾向と対策を

ご紹介していきます。

これは、私が実際に過去10年分の問題を解き、多くの生徒を指導した経験を元に得た知識を

お伝え出来たらと思いますので、あなたの勉強に役立つポイントがあればぜひ参考にしていただけたらと思います。

数学は苦手な人、得意な人が二極化している教科だと思います。

実は私も中学生時代一番苦手だったのは数学でした・・・。

そんな私の体験談もお話ししつつ書いていきます。

この記事を参考に是非、都立高校入試(数学)を攻略してください!

また、他の入試科目についても以下の記事でまとめてあります。

東京都立高校入試(英語)の傾向と対策【受験のプロが解説】

東京都立高校入試(国語)の傾向と対策[受験のプロが解説]

東京都立高校入試(社会)の傾向と対策[受験のプロが解説]

都立高校入試について知る

数学の対策をお伝えする前に、「そもそも入試ってなにするの?」という方もいるかもしれません。

そこで、まずは都立高校入試について簡単にご紹介します。

都立高校入試のについて詳しいことが知りたい人は以下の記事に詳しくまとめてありますので、

ぜひそちらもご覧ください。

関連記事都立高校入試(東京都)を突破するために!プロが語る対策と仕組み

都立高校入試の仕組み

都立高校に入学するためには基本的に都立高校入試を受ける必要があります。

その合否は基本的に、内申点(調査書点)+学力検査の2点で決まります。

(学校により面接や実技試験などが追加)

しかし都立高校の上位校では自校作成問題という各校独自で作成している問題を

国語・数学・英語の教科で使用しています。(国際高校のみ英語)

高校名教科備考
   日比谷高等学校      国語・数学・英語   進学指導重点校
西高等学校国語・数学・英語進学指導重点校
国立高等学校国語・数学・英語進学指導重点校
八王子東高等学校国語・数学・英語進学指導重点校
戸山高等学校国語・数学・英語進学指導重点校
青山高等学校国語・数学・英語進学指導重点校
立川高等学校国語・数学・英語進学指導重点校
新宿高等学校国語・数学・英語   進学指導特別推進校   
国分寺高等学校国語・数学・英語進学指導特別推進校
国際高等学校英語進学指導特別推進校
墨田川高等学校国語・数学・英語進学指導推進校

これらの高校で自校作成問題が使用されております。

また、上記の高校の自校作成以外の科目上記以外の高校の5科目のテストは全ての高校で共通問題を

使用しており、今回このブログでは共通問題の傾向と対策をしていきます。

進学指導重点校、進学指導特別推進校、進学指導推進校について詳しく知りたい方は以下の記事をご覧ください。

関連記事今更聞けない!?都立高校の種類について受験のプロが解説!①

また上記の各高校の偏差値や内申点など知りたい方は以下の記事をご覧ください。

国際高校に合格するには!偏差値・倍率・必要な内申点をプロが解説

西高校に合格するには!偏差値・倍率・必要な内申点をプロが解説

日比谷高校に合格するには!偏差値・倍率・必要な内申点をプロが解説

新宿高校に合格するには!偏差値・倍率・必要な内申点をプロが解説

戸山高校に合格するには!偏差値・倍率・必要な内申点をプロが解説

青山高校に合格するには!偏差値・倍率・必要な内申点をプロが解説

都立高校入試の数学の傾向

まず最初に、実際の入試問題について、過去10年間の入試問題をもとに、

概要と大問ごとに問題傾向を解説していきます。

概要

まず、過去10年の数学科目の平均点の推移です。

年度平均点過去10年での順位(平均点高い順)
令和3年度53.310
令和2年度61.14
平成31年度62.32
平成30年度66.51
平成29年度56.38
平成28年度60.95
平成27年度62.03
平成26年度57.66
平成25年度55.49
平成24年度57.27
平均59.26

数学の10年間の平均点は59.26点でありこれは5教科の中で2番目に高いです。

そして上記表を見ていただいたらわかるように、昨年の令和3年度の得点が一番低い結果となりました。

上記の表は令和3年度(左)と令和2年度(右)の数学科目における得点分布となっております。

大問でみると大問2、各問題でみると大問4の問2①の問題(証明問題)の正答率の下がり方が

一番低い結果となってます。

また、注目していただきたいのは正答率が圧倒的に低い問題です。

主には大問の一番最後の問題となっていますね。

目指す高校にもよりますが、この様な問題は最初からやらないというのも一つの選択肢ですね。

と言いますのもそこで時間を使うなら大問1や他の取れるところで点数を確実に取る方が

堅実だからです。

目指すべきところが上位の高校であったり、数学が得意な生徒はもちろんそこで点数を取れば

周りと大きな差がつきますので、もちろん挑戦すべきでしょう。

大問1 小問集合 の傾向

大問1は毎年、小問集合で数や式の計算、平方根、方程式、資料の整理、図形問題、作図、確率など

のように幅広い分野から出題されます。

令和3年度入試では、数や式の計算、方程式、関数、確率、作図が出題されています。

どれも教科書の基礎的な内容のものばかりなので確実に得点奪取したいですね。

大問2 式の利用問題 の傾向

大問2は与えられた文章や問題をもとに規則性を見つける問題で、

選択問題と証明問題が出題されています。

規則性を見つける問題は学校などではあまり解きなれていない生徒が多いような印象を持ちます。

証明問題は記述式の問題であり、毎年正答率は高い方ではないですが部分点ももらえるので、

本番までに形式に慣れて完全正答、難しくても部分点狙いで得点を取りたいです。

ちなみに余談ですが、私が受けた入試試験も規則性の問題があったので

中学生の時に何度も解いて苦労してた記憶がありますが、

その後高校で習った「数列」という範囲を習った際に目から鱗だったのを今でも覚えています。

大問3 関数問題 の傾向

大問3は一次関数や二次関数といった関数+図形の問題となっております。

例年問1と問2は関数の問題で、問3は関数と図形の問題組み合わせた問題が出題される傾向にあります。

年度メインで出題された関数
令和3年度一次関数
令和2年度二次関数
平成31年度一次関数
平成30年度二次関数
平成29年度一次関数
平成28年度二次関数
平成27年度一次関数
平成26年度二次関数
平成25年度二次関数
平成24年度一次関数

関数では毎年このような流れで出題されています。

また二次関数がメインの時はほとんど一次関数の式も求めるように問題が作られています。

逆に一次関数がメインの時は二次関数を求めるような問題は今の所出題されていないです。

大問4 平面図形問題 の傾向

大問4は平面図形の問題です。

問1は指定された図形の角度を文字式でおいて答えるというのが最近は多いです。

問2は苦手とする人が多い証明問題です。

問3は例年正答率が低い問題で、指定された図形中の面積や線分の長さを求める問題です。

問2までは安定して点数を取れるようにすべきです。

証明問題は部分点がつくのでこちらも完全正答目指し、最悪部分点だけでも奪取しましょう。

また以下は過去10年間の証明問題に関してです。

年度証明問題内容証明条件
令和3年度二等辺三角形の証明2つの角が等しい
令和2年度合同2組の辺とその間の角がそれぞれ等しい
平成31年度相似2組の角がそれぞれ等しい
平成30年度合同2組の辺とその間の角がそれぞれ等しい
平成29年度相似2組の角がそれぞれ等しい
平成28年度相似2組の角がそれぞれ等しい
平成27年度合同2組の辺とその間の角がそれぞれ等しい
平成26年度相似2組の角がそれぞれ等しい
平成25年度合同1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい
平成24年度相似2組の角がそれぞれ等しい

見ていただいたらお分かりのように昨年までは合同と相似がほぼ交互に出題されていました。

しかも出題問題の証明条件がほとんど一定だったので考えやすかったのですが、

昨年度のテストで見事に裏切られ、それまでの合同や相似の証明ではなく、

二等辺三角形の証明が出題されました。

それもあってか正答率も前年度の半分ほどにまで下がりました。

今後は合同や相似だけではなくその他の図形にも要注意です。

大問5 空間図形 の傾向

大問5は空間図形の問題についてが出題されます。

2問構成となっており、三平方の定理や相似を用いて立方体や直方体、

角錐や角柱等の図形の問題を解くパターンが多いです。

例年正答率が低く、特に2問目に関しては全問題含めた中で、

正答率が低い問題となっていることが多いです。

ですので数学が得意で点数にしたい方、苦手な方によって対策が違ってきます。

大問ごとの対策と勉強法

大問全体を通して

まず大問全体を通してお伝えしたいことが2つあります。

1つは全教科にもいえることですが、多くの問題を実際に手を動かして解くということです。

これは実体験なのですが、私は中学生の時数学が一番苦手で100点中半分も取れなくて、

模試の際は解けなさすぎて、焦って手が震え頭が真っ白になるくらい苦手でした。

実際に私が数学を克服したのは高校入学前の春休みでした。

何をしたかというと高校受験が終わった後の春休み約1ヶ月の間、

当時通っていた塾で、高校数学の問題を毎日ひたすら解いていました。

多くの問題を解くことで、

問題解く→間違える→復習して解けるようになる→嬉しい→もっと問題を解く

というサイクルを確立させました。

結局苦手であったり、解けない問題を解けるようになると嬉しいです。

もちろん解けるようになるまで本当に辛いです。

しかし、私が思うこととして解いた分だけ自信と知識になると思ってます。

だからこそこれを見た学生で苦手な子こそ毎日触れ、解く練習をしましょう。

そして多くの問題を実際に手を動かして解くということを必ず実践しましょう。

2つ目は都立数学において志望校によって解く問題

捨てる問題を明確にしておくということです。

上述させていただいたように正答率が低い問題が絶対に存在します。

そこの問題に時間をかけて挑戦し5点を狙うより、できる問題や解き直しをして5点を狙う方が

楽で簡単です。

何度も言うように、得意で数学をものにしたい生徒は全問解けるように勉強していくべきですが

苦手な生徒はそんな必要はありません。

必ずしも全問解ける必要はないのであらかじめ決めておきましょう。

大問1 小問集合(46点)

まずは、小問集合についてです。令和3年度では46点分ありました。

都立の問題では必ず絶対に大問1は全て解いて点数獲得できるようにしましょう。

どの高校行くに場合にも必ず大問1を1問でも落としてはなりません。

レベル的には教科書の基本問題レベルですので対策と勉強法としては

教科書や参考書に載ってある計算問題を解くようにしましょう。

その段階で「方程式の解き方」「解の公式が適切に使えているか」など計算の基本事項を確認します。

そしてそこで出来ていないところがあればその出来ていない点を確認し、

類題を解き演習を積むようにします。

特に大問1で点数を落としやすい単元は「資料の整理」「確率」「作図」

正答率が低い傾向があります。苦手な生徒は教科書や参考書を使い演習をしましょう。

また大問1は時間をかけることができません。(大問2以降で時間がかかるからです。)

ですので早く解く演習をしましょう。具体的には時間を計りながら演習をするというのが効果的です。

大問2 式の利用問題(12点)

続いて大問2の式の利用問題についてです。令和3年度では12点分あり、7点は証明問題です。

ここの大問は与えられた問題から規則性を見つけ、それを証明することがメインとなっています。

まず対策と勉強法の手順として

① 与えられた条件を文字式にするor方程式にする

② 規則性を見つける

③ ①、②を組み合わせてそれを文章にし採点者にわかるような証明を書く

というような手順であると考えます。

<①に関して>

まず①に関してですが、具体的な数字だとわかるけど、問題文に「n番目」や「Xcm」のように

文字が出てきた瞬間にペンが止まる場合は文字式や方程式にしたりするのが苦手だと考えられます。

(僕は苦手でした。)

その場合はまずは中学1年生の時の文字式の利用や方程式を使った問題の演習を

まずはすべきかなと思います。そこで与えられた条件を文字式や方程式にする演習をしましょう。

<②に関して>

続いて②の規則性を見つけるに関しては、私は「具体的な数字を入れての実験」をするべきだと考えます。

「1回目だと◯、2回目だと△、3回目だと□、4回目だと○○になるからn回目だと・・・」

というように具体的な数字を入れて考えると文字で行うより考えやすくなるからです。

ですので「まずは実験しその後の文字式や方程式にする」という演習をしましょう。

しかし、規則性の問題は教科書にも多く載ってない印象があるので実際に過去問を解くか、

規則性の参考書を買って解いてみるのがいいかもしれません。

③に関して

最後は③に関してですがこれは②と対策や勉強法は同じです。

ただし行って欲しいことが1点ありそれは、解いた証明を確認してもらうということです。

証明は採点者にわかってもらわないといけません。

ですので必ず第三者に見てもらい添削をしてもらいましょう。

大問3 関数問題(15点)

続いて大問3の関数問題についてです。令和3年度では15点分ありました。

まず関数に関しては一次関数、二次関数が都立では出題されますが、

この言葉を聞いて生徒の皆様は式が思い浮かびますか?

一次関数といえば「y=ax+b」、二次関数といえば「y=ax²」ですね。

関数が苦手な生徒はまずこれが思い浮かばない生徒が多い印象があります。

まずはこのような基本事項の暗記や確認をしましょう。

その後、点の座標や直線の式、変域を求める問題が問1、問2では問われることが多いので

求められるように演習です。

問3は難しい問題が多く「与えられた条件を満たす図形の面積や座標」など応用レベルが出題されます。

これは様々な問題をあらかじめ解いておき出題形式に慣れておけば対策しやすい印象があります。

数学が苦手な人は最低でも問2まで解くことができるよう多くの問題をこなしましょう。

大問4 平面図形問題(17点)

続いて大問4の平面図形問題についてです。令和3年度では17点分あり、7点は証明問題です。

問1に関しては定理などを使って角度を求める問題ですので、

これは教科書に載ってある問題や参考書を使って図形の角度だったりを求める演習をしましょう。

そしてこの大問のメインは問2の証明問題です。

今までの証明問題の対策としては、

まず合同条件、相似条件それぞれ全て暗記することから始まり、

実際に多くの証明問題を解いて問題になれるまで演習を行っておりました。

そして受験前になれば「合同と相似が交互に出題されているから今年は相似だ!」、

「合同だと2組の辺とその間の角がそれぞれ等しい、相似だと2組の角がそれぞれ等しい

がよく出題されるから同じ角度を探そう」という風にするのが一般的なところではありましたが

昨年度でそれは見事に裏切られましたね。

理由としては合同でも相似でもない証明問題が出題されたからです。

解いていた生徒さんもびっくりしたと思います。

ですので来年度以降の対策としては、

合同条件、相似条件、そして図形の定義、定理を今一度確認する。

まずはこれに尽きると考えます。合同、相似条件はもちろんですが、

二等辺三角形、正三角形、直角三角形、平行四辺形、ひし形・・・など図形といえどたくさんあります。

これらがどういう形の図形で、どういう性質があるかを今一度確認し、

すぐに取り出せるように演習をしておくのが良いでしょう。

その後の演習は同じです。実際に手を動かし色々な証明問題を解きましょう。

それに伴い、大問2と同様に第三者に必ず添削をしてもらうようにしましょう。

大問3に関しては例年正答率が低い問題となっております。

こちらの問題も解く人、解かない人分かれますが得意で点数にしたい人は

難しい問題の参考書などを使い演習を多くしましょう。

大問5 空間図形問題(10点)

続いて大問5の空間図形問題についてです。令和3年度では10点分ありました。

まず空間図形の問題を解く際ですが基本的には平面図形にして考えましょう。

どういうことか、図形が空間にある状態で考えると難しく考えづらいです。

しかしその図形を平面で見れるようになれば普段見慣れた図形として考えやすくなります。

また、大問5は全体的に正答率が低い大問でもあり、難しくなっております。

ですので対策としては問1をまず取れるように三平方の定理を使った問題などを解くようにし、

問2に関しては空間図形の難しい問題の載っている参考書などを使い問題を解いていきましょう。

過去問演習

最後は過去問演習について解説します。

入試本番で実際にどのような問題がでるか把握し、形式に慣れるためには、過去問演習が欠かせません。

3年生の秋を目安に、過去問演習を始めましょう。

解く際は、時間をしっかりと計りながら行うようにしてください。

特に数学は慣れてきたら時間との戦いです。簡単な問題などを含めて短時間で解けるように、

基本的には、間違えた範囲の復習を重ねて、苦手を潰していくことで得点アップを目指しましょう。

過去問は少なくとも5年分は解くようにしてください。

太陽学院では10年分を毎年授業で解くようにしています。

同じ問題が出たときに答えられるように間違えた問題の確認をしっかり行いましょう。

最後に

いかがでしたでしょうか?

数学で高得点を取るためには、まずは本番の出題形式を理解した上で、

実践的な知識を身に付ける意識で演習を積む必要があります。

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